МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ІКТА, кафедра “Захист інформації” Звіт з ЛАБОРАТОРНої РОБОТи № 5 З КУРСУ “ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ” НА ТЕМУ: “ МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ“ Варіант 19 виконав: ст. гр. ІБ-2 Львів – 2007 Мета роботи-ознайомлення з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона Короткі теоретичні відомості Стандартний метод Ньютона Метод Ньютона базується на лінеаризації задачі і заміні розв'язування нелінійної системи (2) на послідовність розв'язувань лінійних систем (найчастіше прямими методами). Будемо вважати, що система рівнянь (2) має розв'язок; позначимо його через вектор  EMBED Equation.3 
 і розкладемо кожну функцію в ряд Тейлора в околі розв'язку  EMBED Equation.3 
 де  EMBED Equation.3 
 - члени другого і вищих порядків. Вважаючи, що  EMBED Equation.3 
 дуже близьке до  EMBED Equation.3 
, знехтуємо членами вищих порядків і запишемо систему рівнянь в лінеаризованій формі:  EMBED Equation.3 
 (3) або в іншому вигляді  EMBED Equation.3 
 (4) де  EMBED Equation.3 
 – матриця Якобі (якобіан) системи (1) Враховуючи, що  EMBED Equation.3 
 є розв'язком системи, згідно з (2) можемо записати:  EMBED Equation.3 
 Звідси випливає, що і праву частину (4) також можна прирівняти до нуля:  EMBED Equation.3 
 (5) Розв'язком системи (5) є нове значення вектора X, яке не точно дорівнює значенню вектора  EMBED Equation.3 
 (оскільки знехтували членами другого і вищих порядків). Використовуючи верхні індекси для позначення послідовності ітерацій, можна записати  EMBED Equation.3 
 (6) Звідси  EMBED Equation.3 
 (7) де  EMBED Equation.3 
 - обернена матриця Якобі;  EMBED Equation.3 
. У достатньо широкому околі розв'язку  EMBED Equation.3 
 ітераційний процес (7) збігається, якщо  EMBED Equation.3 
. Ітераційний процес закінчується при виконанні умови  EMBED Equation.3 
 (8) де Σ - задана гранична похибка уточнень коренів системи (1). Таким чином, алгоритм стандартного методу Ньютона можна розбити, на декілька кроків. Крок 1. Вибір вектора початкових уточнень  EMBED Equation.3 
. Крок 2. Обчислення елементів матриці Якобі. Крок 3. Обчислення елементів оберненої матриці Якобі. Крок 4. Перемноження значень функції (див. формулу (7))  EMBED Equation.3 
 Крок 5. Одержаний на кроці 4 вектор віднімається від вектора  EMBED Equation.3 
, у результаті чого одержується покращений вектор розв'язку  EMBED Equation.3 
. Крок 6. Перевірка умови закінчення ітерацій (8). Якщо вона не виконується, то за вектор початкових уточнень приймається вектор  EMBED Equation.3 
 і проводиться наступна ітерація, починаючи з кроку 2. При використанні стандартного методу Ньютона слід мати на увазі наступне. 1. Стандартний метод Ньютона надзвичайно ефективний. 2. Збіжність на початку ітераційного процесу, як правило, лінійна. 3. Починаючи з деякого кроку ( уточнити його попередньо неможливо), збіжність різко прискорюється і стає квадратичною. 4. Бувають випадки, коли метод розбігається або спостерігається зациклювання ітерацій. Тому необхідно обмежувати максимальну кількість ітерацій деяким попередньо заданим числом. Основний недолік методу полягає в повторних обчисленнях на кожному кроці вектора  EMBED Equation.3 
, матриці Якобі  EMBED Equation.3 
, оберненої матриці Якобі  EMBED Equation.3 
. Тому на практиці досить часто з метою зменшення витрат машинного часу використовують стандартний метод Ньютона без обертання матриці Якобі. Позначаючи  EMBED Equation.3 
 (9) перепишемо (6) у вигляді  EMBED Equation.3 
 (10) Таким чином, задача зводиться до пошуку вектора поправок (приростів)  EMBED Equation.3 
 із системи лінійних алгебраїчних рівнянь (10), у якій матрицею коефіцієнтів ...